基础示例：多层感知机（MLP）

基础示例：多层感知机（MLP）
- 数据获取及预处理： tf.keras.datasets
- 模型的构建： tf.keras.Model 和 tf.keras.layers
- 模型的训练： tf.keras.losses 和 tf.keras.optimizer
- 模型的评估： tf.keras.metrics

我们从编写一个最简单的多层感知机（Multilayer Perceptron, MLP），或者说 “多层全连接神经网络” 开始，介绍 TensorFlow 的模型编写方式。在这一部分，我们依次进行以下步骤：

使用 tf.keras.datasets 获得数据集并预处理
使用 tf.keras.Model 和 tf.keras.layers 构建模型
构建模型训练流程，使用 tf.keras.losses 计算损失函数，并使用 tf.keras.optimizer 优化模型
构建模型评估流程，使用 tf.keras.metrics 计算评估指标

基础知识和原理

UFLDL 教程 Multi-Layer Neural Network 一节；
斯坦福课程 CS231n: Convolutional Neural Networks for Visual Recognition 中的 “Neural Networks Part 1 ~ 3” 部分。

这里，我们使用多层感知机完成 MNIST 手写体数字图片数据集 [LeCun1998] 的分类任务。

../../_images/mnist_0-9.png MNIST 手写体数字图片示例

数据获取及预处理： tf.keras.datasets

先进行预备工作，实现一个简单的 MNISTLoader 类来读取 MNIST 数据集数据。这里使用了 tf.keras.datasets 快速载入 MNIST 数据集。

class MNISTLoader():
    def __init__(self):
        mnist = tf.keras.datasets.mnist
        (self.train_data, self.train_label), (self.test_data, self.test_label) = mnist.load_data()
        # MNIST中的图像默认为uint8（0-255的数字）。以下代码将其归一化到0-1之间的浮点数，并在最后增加一维作为颜色通道
        self.train_data = np.expand_dims(self.train_data.astype(np.float32) / 255.0, axis=-1)      # [60000, 28, 28, 1]
        self.test_data = np.expand_dims(self.test_data.astype(np.float32) / 255.0, axis=-1)        # [10000, 28, 28, 1]
        self.train_label = self.train_label.astype(np.int32)    # [60000]
        self.test_label = self.test_label.astype(np.int32)      # [10000]
        self.num_train_data, self.num_test_data = self.train_data.shape[0], self.test_data.shape[0]
 
    def get_batch(self, batch_size):
        # 从数据集中随机取出batch_size个元素并返回
        index = np.random.randint(0, np.shape(self.train_data)[0], batch_size)
        return self.train_data[index, :], self.train_label[index]

提示

mnist = tf.keras.datasets.mnist 将从网络上自动下载 MNIST 数据集并加载。如果运行时出现网络连接错误，可以从 https://storage.googleapis.com/tensorflow/tf-keras-datasets/mnist.npz 或 https://s3.amazonaws.com/img-datasets/mnist.npz 下载 MNIST 数据集 mnist.npz 文件，并放置于用户目录的 .keras/dataset 目录下（Windows 下用户目录为 C:\Users\用户名 ，Linux 下用户目录为 /home/用户名 ）。

TensorFlow 的图像数据表示

在 TensorFlow 中，图像数据集的一种典型表示是 [图像数目，长，宽，色彩通道数] 的四维张量。在上面的 DataLoader 类中， self.train_data 和 self.test_data 分别载入了 60,000 和 10,000 张大小为 28*28 的手写体数字图片。由于这里读入的是灰度图片，色彩通道数为 1（彩色 RGB 图像色彩通道数为 3），所以我们使用 np.expand_dims() 函数为图像数据手动在最后添加一维通道。

模型的构建： tf.keras.Model 和 tf.keras.layers

多层感知机的模型类实现与上面的线性模型类似，使用 tf.keras.Model 和 tf.keras.layers 构建，所不同的地方在于层数增加了（顾名思义，“多层” 感知机），以及引入了非线性激活函数（这里使用了 ReLU 函数，即下方的 activation=tf.nn.relu ）。该模型输入一个向量（比如这里是拉直的 1×784 手写体数字图片），输出 10 维的向量，分别代表这张图片属于 0 到 9 的概率。

class MLP(tf.keras.Model):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.flatten = tf.keras.layers.Flatten()    # Flatten层将除第一维（batch_size）以外的维度展平
        self.dense1 = tf.keras.layers.Dense(units=100, activation=tf.nn.relu)
        self.dense2 = tf.keras.layers.Dense(units=10)
 
    def call(self, inputs):         # [batch_size, 28, 28, 1]
        x = self.flatten(inputs)    # [batch_size, 784]
        x = self.dense1(x)          # [batch_size, 100]
        x = self.dense2(x)          # [batch_size, 10]
        output = tf.nn.softmax(x)
        return output

softmax 函数

这里，因为我们希望输出 “输入图片分别属于 0 到 9 的概率”，也就是一个 10 维的离散概率分布，所以我们希望这个 10 维向量至少满足两个条件：

该向量中的每个元素均在之间；
该向量的所有元素之和为 1。

为了使得模型的输出能始终满足这两个条件，我们使用 Softmax 函数（归一化指数函数， tf.nn.softmax ）对模型的原始输出进行归一化。其形式为 $\sigma(\mathbf{z})_j = \frac{e^{z_j}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}}$ 。不仅如此，softmax 函数能够凸显原始向量中最大的值，并抑制远低于最大值的其他分量，这也是该函数被称作 softmax 函数的原因（即平滑化的 argmax 函数）。

../../_images/mlp.png MLP 模型示意图

模型的训练： tf.keras.losses 和 tf.keras.optimizer

定义一些模型超参数：

num_epochs = 5
batch_size = 50
learning_rate = 0.001

实例化模型和数据读取类，并实例化一个 tf.keras.optimizer 的优化器（这里使用常用的 Adam 优化器）：

model = MLP()
data_loader = MNISTLoader()
optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate=learning_rate)

然后迭代进行以下步骤：

从 DataLoader 中随机取一批训练数据；
将这批数据送入模型，计算出模型的预测值；
将模型预测值与真实值进行比较，计算损失函数（loss）。这里使用 tf.keras.losses 中的交叉熵函数作为损失函数；
计算损失函数关于模型变量的导数；
将求出的导数值传入优化器，使用优化器的 apply_gradients 方法更新模型参数以最小化损失函数（优化器的详细使用方法见前章）。

具体代码实现如下：

    num_batches = int(data_loader.num_train_data // batch_size * num_epochs)
    for batch_index in range(num_batches):
        X, y = data_loader.get_batch(batch_size)
        with tf.GradientTape() as tape:
            y_pred = model(X)
            loss = tf.keras.losses.sparse_categorical_crossentropy(y_true=y, y_pred=y_pred)
            loss = tf.reduce_mean(loss)
            print("batch %d: loss %f" % (batch_index, loss.numpy()))
        grads = tape.gradient(loss, model.variables)
        optimizer.apply_gradients(grads_and_vars=zip(grads, model.variables))

交叉熵（cross entropy）与 tf.keras.losses

你或许注意到了，在这里，我们没有显式地写出一个损失函数，而是使用了 tf.keras.losses 中的 sparse_categorical_crossentropy （交叉熵）函数，将模型的预测值 y_pred 与真实的标签值 y 作为函数参数传入，由 Keras 帮助我们计算损失函数的值。

交叉熵作为损失函数，在分类问题中被广泛应用。其离散形式为 $H(y, \hat{y}) = -\sum_{i=1}^{n}y_i \log(\hat{y_i})$ ，其中为真实概率分布， $\hat{y}$ 为预测概率分布，为分类任务的类别个数。预测概率分布与真实分布越接近，则交叉熵的值越小，反之则越大。更具体的介绍及其在机器学习中的应用可参考这篇博客文章。

在 tf.keras 中，有两个交叉熵相关的损失函数 tf.keras.losses.categorical_crossentropy 和 tf.keras.losses.sparse_categorical_crossentropy 。其中 sparse 的含义是，真实的标签值 y_true 可以直接传入 int 类型的标签类别。具体而言：

loss = tf.keras.losses.sparse_categorical_crossentropy(y_true=y, y_pred=y_pred)

与

loss = tf.keras.losses.categorical_crossentropy(
    y_true=tf.one_hot(y, depth=tf.shape(y_pred)[-1]),
    y_pred=y_pred
)

的结果相同。

模型的评估： tf.keras.metrics

最后，我们使用测试集评估模型的性能。这里，我们使用 tf.keras.metrics 中的 SparseCategoricalAccuracy 评估器来评估模型在测试集上的性能，该评估器能够对模型预测的结果与真实结果进行比较，并输出预测正确的样本数占总样本数的比例。我们迭代测试数据集，每次通过 update_state() 方法向评估器输入两个参数： y_pred 和 y_true ，即模型预测出的结果和真实结果。评估器具有内部变量来保存当前评估指标相关的参数数值（例如当前已传入的累计样本数和当前预测正确的样本数）。迭代结束后，我们使用 result() 方法输出最终的评估指标值（预测正确的样本数占总样本数的比例）。

在以下代码中，我们实例化了一个 tf.keras.metrics.SparseCategoricalAccuracy 评估器，并使用 For 循环迭代分批次传入了测试集数据的预测结果与真实结果，并输出训练后的模型在测试数据集上的准确率。

    sparse_categorical_accuracy = tf.keras.metrics.SparseCategoricalAccuracy()
    num_batches = int(data_loader.num_test_data // batch_size)
    for batch_index in range(num_batches):
        start_index, end_index = batch_index * batch_size, (batch_index + 1) * batch_size
        y_pred = model.predict(data_loader.test_data[start_index: end_index])
        sparse_categorical_accuracy.update_state(y_true=data_loader.test_label[start_index: end_index], y_pred=y_pred)
    print("test accuracy: %f" % sparse_categorical_accuracy.result())

输出结果:

test accuracy: 0.947900

可以注意到，使用这样简单的模型，已经可以达到 95% 左右的准确率。

神经网络的基本单位：神经元 3

如果我们将上面的神经网络放大来看，详细研究计算过程，比如取第二层的第 k 个计算单元，可以得到示意图如下：

../../_images/neuron.png

该计算单元 Q_k 有 100 个权值参数 $w_{0k}, w_{1k}, ..., w_{99k}$ 和 1 个偏置参数 b_k 。将第 1 层中所有的 100 个计算单元 $P_0, P_1, ..., P_{99}$ 的值作为输入，分别按权值 $w_{ik}$ 加和（即 $\sum_{i=0}^{99} w_{ik} P_i$ ），并加上偏置值 b_k ，然后送入激活函数进行计算，即得到输出结果。

事实上，这种结构和真实的神经细胞（神经元）类似。神经元由树突、胞体和轴突构成。树突接受其他神经元传来的信号作为输入（一个神经元可以有数千甚至上万树突），胞体对电位信号进行整合，而产生的信号则通过轴突传到神经末梢的突触，传播到下一个（或多个）神经元。

../../_images/real_neuron.png 神经细胞模式图（修改自 Quasar Jarosz at English Wikipedia [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]）

上面的计算单元，可以被视作对神经元结构的数学建模。在上面的例子里，第二层的每一个计算单元（人工神经元）有 100 个权值参数和 1 个偏置参数，而第二层计算单元的数目是 10 个，因此这一个全连接层的总参数量为 100*10 个权值参数和 10 个偏置参数。事实上，这正是该全连接层中的两个变量 kernel 和 bias 的形状。仔细研究一下，你会发现，这里基于神经元建模的介绍与上文基于矩阵计算的介绍是等价的。

3
事实上，应当是先有神经元建模的概念，再有基于人工神经元和层结构的人工神经网络。但由于本手册着重介绍 TensorFlow 的使用方法，所以调换了介绍顺序。