基础示例：线性回归

基础示例：线性回归
- NumPy下的线性回归
- TensorFlow下的线性回归

基础知识和原理

UFLDL教程 Linear Regression 一节。

考虑一个实际问题，某城市在2013年-2017年的房价如下表所示：

年份	2013	2014	2015	2016	2017
房价	12000	14000	15000	16500	17500

现在，我们希望通过对该数据进行线性回归，即使用线性模型 y = ax + b 来拟合上述数据，此处 a 和 b 是待求的参数。

首先，我们定义数据，进行基本的归一化操作。

import numpy as np
 
X_raw = np.array([2013, 2014, 2015, 2016, 2017], dtype=np.float32)
y_raw = np.array([12000, 14000, 15000, 16500, 17500], dtype=np.float32)
 
X = (X_raw - X_raw.min()) / (X_raw.max() - X_raw.min())
y = (y_raw - y_raw.min()) / (y_raw.max() - y_raw.min())

接下来，我们使用梯度下降方法来求线性模型中两个参数 a 和 b 的值 3。

回顾机器学习的基础知识，对于多元函数 f(x) 求局部极小值，梯度下降的过程如下：

初始化自变量为，
迭代进行下列步骤直到满足收敛条件：

求函数 $f(x)$ 关于自变量的梯度 $\nabla f(x_k)$
更新自变量： $x_{k+1} = x_{k} - \gamma \nabla f(x_k)$ 。这里 $\gamma$ 是学习率（也就是梯度下降一次迈出的“步子”大小）
$k \leftarrow k+1$

接下来，我们考虑如何使用程序来实现梯度下降方法，求得线性回归的解 $\min_{a, b} L(a, b) = \sum_{i=1}^n(ax_i + b - y_i)^2$ 。

NumPy下的线性回归

机器学习模型的实现并不是TensorFlow的专利。事实上，对于简单的模型，即使使用常规的科学计算库或者工具也可以求解。在这里，我们使用NumPy这一通用的科学计算库来实现梯度下降方法。NumPy提供了多维数组支持，可以表示向量、矩阵以及更高维的张量。同时，也提供了大量支持在多维数组上进行操作的函数（比如下面的 np.dot() 是求内积， np.sum() 是求和）。在这方面，NumPy和MATLAB比较类似。在以下代码中，我们手工求损失函数关于参数 a 和 b 的偏导数 4，并使用梯度下降法反复迭代，最终获得 a 和 b 的值。

a, b = 0, 0
 
num_epoch = 10000
learning_rate = 1e-3
for e in range(num_epoch):
    # 手动计算损失函数关于自变量（模型参数）的梯度
    y_pred = a * X + b
    grad_a, grad_b = (y_pred - y).dot(X), (y_pred - y).sum()
 
    # 更新参数
    a, b = a - learning_rate * grad_a, b - learning_rate * grad_b
 
print(a, b)

然而，你或许已经可以注意到，使用常规的科学计算库实现机器学习模型有两个痛点：

经常需要手工求函数关于参数的偏导数。如果是简单的函数或许还好，但一旦函数的形式变得复杂（尤其是深度学习模型），手工求导的过程将变得非常痛苦，甚至不可行。
经常需要手工根据求导的结果更新参数。这里使用了最基础的梯度下降方法，因此参数的更新还较为容易。但如果使用更加复杂的参数更新方法（例如Adam或者Adagrad），这个更新过程的编写同样会非常繁杂。

而TensorFlow等深度学习框架的出现很大程度上解决了这些痛点，为机器学习模型的实现带来了很大的便利。

TensorFlow下的线性回归

TensorFlow的 Eager Execution（动态图）模式5 与上述NumPy的运行方式十分类似，然而提供了更快速的运算（GPU支持）、自动求导、优化器等一系列对深度学习非常重要的功能。以下展示了如何使用TensorFlow计算线性回归。可以注意到，程序的结构和前述NumPy的实现非常类似。这里，TensorFlow帮助我们做了两件重要的工作：

使用 tape.gradient(ys, xs) 自动计算梯度；
使用 optimizer.apply_gradients(grads_and_vars) 自动更新模型参数。

X = tf.constant(X)
y = tf.constant(y)
 
a = tf.Variable(initial_value=0.)
b = tf.Variable(initial_value=0.)
variables = [a, b]
 
num_epoch = 10000
optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=1e-3)
for e in range(num_epoch):
    # 使用tf.GradientTape()记录损失函数的梯度信息
    with tf.GradientTape() as tape:
        y_pred = a * X + b
        loss = 0.5 * tf.reduce_sum(tf.square(y_pred - y))
    # TensorFlow自动计算损失函数关于自变量（模型参数）的梯度
    grads = tape.gradient(loss, variables)
    # TensorFlow自动根据梯度更新参数
    optimizer.apply_gradients(grads_and_vars=zip(grads, variables))
 
print(a, b)

在这里，我们使用了前文的方式计算了损失函数关于参数的偏导数。同时，使用 tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=1e-3) 声明了一个梯度下降 优化器 （Optimizer），其学习率为1e-3。优化器可以帮助我们根据计算出的求导结果更新模型参数，从而最小化某个特定的损失函数，具体使用方式是调用其 apply_gradients() 方法。

注意到这里，更新模型参数的方法 optimizer.apply_gradients() 需要提供参数 grads_and_vars，即待更新的变量（如上述代码中的 variables ）及损失函数关于这些变量的偏导数（如上述代码中的 grads ）。具体而言，这里需要传入一个Python列表（List），列表中的每个元素是一个 （变量的偏导数，变量） 对。比如这里是 [(grad_a, a), (grad_b, b)] 。我们通过 grads = tape.gradient(loss, variables) 求出tape中记录的 loss 关于 variables = [a, b] 中每个变量的偏导数，也就是 grads = [grad_a, grad_b]，再使用Python的 zip() 函数将 grads = [grad_a, grad_b] 和 variables = [a, b] 拼装在一起，就可以组合出所需的参数了。

Python的 zip() 函数

zip() 函数是Python的内置函数。用自然语言描述这个函数的功能很绕口，但如果举个例子就很容易理解了：如果 a = [1, 3, 5]， b = [2, 4, 6]，那么 zip(a, b) = [(1, 2), (3, 4), …, (5, 6)] 。即“将可迭代的对象作为参数，将对象中对应的元素打包成一个个元组，然后返回由这些元组组成的列表”。在Python 3中， zip() 函数返回的是一个对象，需要调用 list() 来将对象转换成列表。

../../_images/zip.jpg Python的 zip() 函数图示

在实际应用中，我们编写的模型往往比这里一行就能写完的线性模型 y_pred = a * X + b （模型参数为 variables = [a, b] ）要复杂得多。所以，我们往往会编写并实例化一个模型类 model = Model() ，然后使用 y_pred = model(X) 调用模型，使用 model.variables 获取模型参数。关于模型类的编写方式可见 “TensorFlow模型”一章。

1
Python中可以使用整数后加小数点表示将该整数定义为浮点数类型。例如 3. 代表浮点数 3.0。
2
主要可以参考 Tensor Transformations 和 Math 两个页面。可以注意到，TensorFlow的张量操作API在形式上和Python下流行的科学计算库NumPy非常类似，如果对后者有所了解的话可以快速上手。
3
其实线性回归是有解析解的。这里使用梯度下降方法只是为了展示TensorFlow的运作方式。
4
此处的损失函数为均方差 $L(x) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^5 (ax_i + b - y_i)^2$ 。其关于参数 a 和 b 的偏导数为 $\frac{\partial L}{\partial a} = \sum_{i=1}^5 (ax_i + b - y) x_i$ ， $\frac{\partial L}{\partial b} = \sum_{i=1}^5 (ax_i + b - y)$
5
与Eager Execution相对的是Graph Execution（静态图）模式，即TensorFlow在2018年3月的1.8版本发布之前所主要使用的模式。本手册以面向快速迭代开发的动态模式为主，但会在附录中介绍静态图模式的基本使用，供需要的读者查阅。