• 寻找最小的k个数
    • 题目描述
    • 分析与解法
      • 解法一
      • 解法二
      • 解法三
      • 解法四
    • 举一反三

    寻找最小的k个数

    题目描述

    输入n个整数，输出其中最小的k个。

    分析与解法

    解法一

    要求一个序列中最小的k个数，按照惯有的思维方式，则是先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数。

    至于选取什么的排序方法，我想你可能会第一时间想到快速排序（我们知道，快速排序平均所费时间为n*logn），然后再遍历序列中前k个元素输出即可。因此，总的时间复杂度：O（n * log n)+O(k)=O（n * log n）。

    解法二

    咱们再进一步想想，题目没有要求最小的k个数有序，也没要求最后n-k个数有序。既然如此，就没有必要对所有元素进行排序。这时，咱们想到了用选择或交换排序，即：

    1、遍历n个数，把最先遍历到的k个数存入到大小为k的数组中，假设它们即是最小的k个数；
    2、对这k个数，利用选择或交换排序找到这k个元素中的最大值kmax（找最大值需要遍历这k个数，时间复杂度为O（k））；
    3、继续遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与kmax比较：如果x < kmax ，用x替换kmax，并回到第二步重新找出k个元素的数组中最大元素kmax‘；如果x >= kmax，则继续遍历不更新数组。

    每次遍历，更新或不更新数组的所用的时间为O（k）或O（0）。故整趟下来，时间复杂度为n*O（k）=O（n*k）。

    解法三

    更好的办法是维护容量为k的最大堆，原理跟解法二的方法相似：

    • 1、用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，同样假设它们即是最小的k个数；
    • 2、堆中元素是有序的，令k1<k2<…<kmax（kmax设为最大堆中的最大元素）
    • 3、遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与堆顶元素kmax比较：如果x < kmax，用x替换kmax，然后更新堆（用时logk）；否则不更新堆。

    这样下来，总的时间复杂度:O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）。此方法得益于堆中进行查找和更新的时间复杂度均为：O(logk)（若使用解法二：在数组中找出最大元素，时间复杂度：O（k））。

    解法四

    在《数据结构与算法分析—c语言描述》一书，第7章第7.7.6节中，阐述了一种在平均情况下，时间复杂度为O（N）的快速选择算法。如下述文字：

    • 选取S中一个元素作为枢纽元v，将集合S-{v}分割成S1和S2，就像快速排序那样
      • 如果k <= |S1|，那么第k个最小元素必然在S1中。在这种情况下，返回QuickSelect(S1, k)。
      • 如果k = 1 + |S1|，那么枢纽元素就是第k个最小元素，即找到，直接返回它。
      • 否则，这第k个最小元素就在S2中，即S2中的第（k - |S1| - 1）个最小元素，我们递归调用并返回QuickSelect(S2, k - |S1| - 1)。

    此算法的平均运行时间为O(n)。

    示例代码如下：

    1. //QuickSelect 将第k小的元素放在 a[k-1]  
    2. void QuickSelect( int a[], int k, int left, int right )
    3. {
    4.     int i, j;
    5.     int pivot;
    7.     if( left + cutoff <= right )
    8.     {
    9.         pivot = median3( a, left, right );
    10.         //取三数中值作为枢纽元，可以很大程度上避免最坏情况
    11.         i = left; j = right - 1;
    12.         for( ; ; )
    13.         {
    14.             while( a[ ++i ] < pivot ){ }
    15.             while( a[ --j ] > pivot ){ }
    16.             if( i < j )
    17.                 swap( &a[ i ], &a[ j ] );
    18.             else
    19.                 break;
    20.         }
    21.         //重置枢纽元
    22.         swap( &a[ i ], &a[ right - 1 ] );  
    24.         if( k <= i )
    25.             QuickSelect( a, k, left, i - 1 );
    26.         else if( k > i + 1 )
    27.             QuickSelect( a, k, i + 1, right );
    28.     }
    29.     else  
    30.         InsertSort( a + left, right - left + 1 );
    31. }

    这个快速选择SELECT算法，类似快速排序的划分方法。N个数存储在数组S中，再从数组中选取“中位数的中位数”作为枢纽元X，把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素，这种解法在平均情况下能做到O(n)的复杂度。

    更进一步，《算法导论》第9章第9.3节介绍了一个最坏情况下亦为O(n)时间的SELECT算法，有兴趣的读者可以参看。

    举一反三

    1、谷歌面试题：输入是两个整数数组，他们任意两个数的和又可以组成一个数组，求这个和中前k个数怎么做？

    分析： 

    1.  “假设两个整数数组为A和B，各有N个元素，任意两个数的和组成的数组C有N^2个元素。
    2.    那么可以把这些和看成N个有序数列：
    3.           A[1]+B[1] <= A[1]+B[2] <= A[1]+B[3] <=…
    4.           A[2]+B[1] <= A[2]+B[2] <= A[2]+B[3] <=…
    5.           …
    6.          A[N]+B[1] <= A[N]+B[2] <= A[N]+B[3] <=…
    7.     问题转变成，在这N^2个有序数列里，找到前k小的元素”

    2、有两个序列A和B,A=(a1,a2,…,ak),B=(b1,b2,…,bk)，A和B都按升序排列。对于1<=i,j<=k，求k个最小的（ai+bj）。要求算法尽量高效。

    3、给定一个数列a1,a2,a3,…,an和m个三元组表示的查询，对于每个查询(i，j，k)，输出ai，ai+1，…，aj的升序排列中第k个数。